Contribution to International Economy

Комплексні числа

Вступ

Введення комплексних чисел було пов'язано з відкриттям рішення кубічного рівняння, тобто ще в 16 столітті.

 І до цього відкриття при рішенні квадратного рівняння x2 = px доводилося стикатися з випадком, коли потрібно було витягнути квадратний корінь з (p/2) 2 - q,  де величина (p/2) 2 була менша, ніж q. Але у такому разі укладали, що рівняння не має рішень. Про введення нових (комплексних) чисел в цей час (коли навіть негативні числа вважалися “помилковими”) не могло бути і думки. Але при рішенні кубічного рівняння за правилом Тартальі виявилось, що без дій над уявними числами не можна одержати дійсний корінь.

  Теорія комплексних чисел розвивалася поволі: ще в 18 столітті найбільші математики миру сперечалися про те, як знаходити логарифми комплексних чисел. Хоча за допомогою комплексних чисел вдалося одержати багато важливих фактів, що відносяться до дійсних чисел, але саме існування комплексних чисел багатьом здавалося сумнівним. Вичерпні правила дій з комплексними числами дав і в 18 столітті російський академік Ейлер - один з найбільших математиків всіх часів і народів.  На рубежі 18 і 19 століть було вказане Весселем (Данія) і Арганом (Франція) геометричне зображення комплексних чисел. Але на роботи Весселя і Аргана не звернули уваги, і лише в 1831 р. коли той же спосіб був розвинений великим математиком Гаусом (Німеччина), він став загальним надбанням.

 

1. Минуле і теперішнє комплексних чисел

Уявні числа зобов’язані своїм народженням цілком реальній задачі – задача розв’язання рівняння третього степеня [1, c. 12].

Корені рівняння :

                    (1)

можуть бути обчислені за формулою, яку називають формулою Кардано:

 ,

де D=(

Ця формула не дає бажаного результату в тому випадку, коли рівняння (1) має три різні (дійсні) корені. Наприклад, легко перевірити, що коренями рівняння  будуть числа 0,1,-1.Але якщо б ми розв’язали це рівняння за формулою Кардано . то отримали б :

 

Яким чином можна отримати числа 0, 1, -1? Щоб дати відповідь на це питання математикам 16-17ст. Необхідно було навчитися оперувати з виразами виду , де , і частково, виділяти із таких виразів кубічні корені.

Математики неохоче йшли на вивчення таких виразів. Вони називали їх уявними, неіснуючими, неможливими величинами Вважалося  що вони не мають реального змісту. Г. В. Лейбніц назвав їх “гібридом між буттям і небуттям” [1, c.13].

Одне з важливих питань алгебри, яке хвилювало математиків 17-18 ст. полягало в наступному: скільки коренів має алгебраїчне рівняння n-го степеня, тобто рівняння вигляду

                 (2)

Якщо обмежитися дійсними коренями, то можна стверджувати, що їх не більше ніж . Якщо розглядати і уявні корені, то відповідь на поставлене вище питання виявляється простою: коренів у рівнянні (2) всього рівно . З цим виявилося важливим друге питання, яке вперше було поставлене Л.Ейлером: чи правильно, що будь-який многочлен можна представити у вигляді многочлена не вище другого степеня? Багато математиків 18 століття вважали, що відповідь повинна бути негативною. Але, між тим, відповідь виявилася позитивною. Це вдалося показати за допомогою уявних чисел. У 18 столітті Л.Ейлер з іншими математиками виявили, що вивчення різних коливальних процесів зводяться до пошуку функцій , які задовольняють умову виду

                    (3)

де -постійні числа.

Наприклад, вивчення гармонічних коливань зводяться до розгляду рівняння , де -константа, -час, - відхилення маятника від деякого нейтрального положення. Ейлер виявив, що для знаходження функції , яка задовольняє диференціальне рівняння (3), необхідно знати корені алгебраїчного рівняння

                  (4),

де - ті ж числа, що і в рівнянні (3). При цьому потрібно всі корені рівняння (4)- не тільки дійсні, але й уявні.

Протягом останніх двохсот років комплексні числа знайшли чисельні застосування. Так, наприклад, за допомогою комплексних чисел Гаусс в 1796році зумів найти відповідь на геометричне питання: при яких натуральних значеннях  можна побудувати циркулем і лінійкою правильний n-кутник?

Широке застосування знайшли комплексні числа в картографії, електротехніці, гідродинаміці, теоретичній фізиці. Вже в наше століття комплексні числа і комплексні функції успішно застосовувалися математиками та механіками Н.Е.Жуковим, С.А.Чаплигіним, М.В.Келдишем та іншими. Вітчизняні математики Г.В.Колосов і Н.І.Мусхелішвілі вперше стали застосовувати комплексні функції в теорії пружності. З застосуванням комплексних змінних в теоретичній фізиці зв’язані досліди вітчизняних вчених Н.Н.Боголюбова і В.С.Владимирова.

 

2. Спосіб Гамільтона введення комплексних чисел

Протягом довгого часу комплексні числа вводились з допомогою такого твердження: «рівняння  немає коренів, корінь з  не існує. Позначимо цей вираз через  і будемо розглядати числа виду , де -дійсні числа». В 1933 році ірландський математик У.Р.Гамільтон пояснив, що таке комплексні числа. Його підхід до побудови теорії комплексних чисел можна подати так. Розглянемо всі можливі пари звичайних чисел взятих у визначеному порядку. Кожну таку упорядковану пару називають комплексним числом [2, c.79]. Для запису комплексного числа можна запропонувати кілька способів: . В математиці прийнято позначати

                                                                  (5).

Значок  застосовується для того, щоб як-небудь відрізняти одне звичайне число з пари від другого. Знак  не говорить про додавання, він тільки вказує на те що ми об’єднуємо два дійсних числа в щось єдине. Для цього позначимо (5) деякою буквою z:

                                                                 (6).

Перше дійсне число, яке входить в цю пару(число ), називається дійсною частиною числа , і позначають так: . Друге дійсне число із пари (6) (число ) називається уявною частиною комплексного числа і позначають . По даному визначенню уявна частина будь-якого  комплексного числа - це завжди деяке дійсне число. Щоб пару (6) можна було вважати числами, потрібно попередньо означити правила їх порівняння та арифметичні дії над ними Введемо для комплексних чисел такі закони [2, c. 82].

Закон 1. Два комплексні числа вважаються рівними в тому випадку, якщо вони мають однакові дійсні і уявні частини:

 

Закон 2. Додавати, віднімати і множити комплексні числа потрібно так, як многочлени відносно змінної  ; при цьому потрібно враховувати що

Якщо  то

Закон 3. Ділення комплексних чисел можна визначити як дію, обернену до множення: ділення комплексного числа  на число  називається число , таке що .Тоді можна записати що  .

Закон 4. Комплексні числа    скорочено можна записати так:.

Комплексні числа виду називають дійсними, а числа виду - чисто уявними; число 0 – єдине комплексне число, яке одночасно являється і дійсним і чисто уявним.

 Комплексні числа виду , де  часто називають уявними. Закони 1-4 забезпечують для комплексних чисел збереження основних законів арифметики для дійсних чисел. Серед дійсних чисел немає такого числа , яке задовольняє нерівність . В той же час рівність показує, що серед комплексних чисел корінь такого рівняння існує. Таким числом являється . Легко показати, що другим коренем такого рівняння є число ().  Запишемо формули для натуральних степенів числа  : .

 

3. Комплексні координати точок і векторів

Візьмемо на площині декартову систему координат  (мал.1). Нехай Z- деяка точка на площині. Її положення визначається двома дійсними числами . Поставимо у відповідність точці Z комплексне число . Це комплексне число будемо називати комплексною координатою точки Z. І на оборот, кожному комплексному числу  на декартовій площині  відповідає визначена точка Z. Враховуючи це, можна сказати, що комплексне число – це точка на площині [1, c. 17].

Точки осі абсцис і тільки вони, мають своїми комплексними координатами дійсні числа, тому вісь абсцис називають дійсною віссю. Точки осі ординат і тільки вони мають своїми координатами чисто уявні числа. Тому вісь ординат називають уявною віссю. А всю площину, яка служить для наочного тлумачення комплексних чисел, називають комплексною числовою площиною і позначають буквою C. Комплексною координатою початку координат O являється число нуль. В зв’язку з цим початок координат називають нульовою точкою комплексної площини.

Виберемо на координатній площині який-небудь вектор . Розглянемо рівний йому вектор  з початком в нульовій точці. Нехай кінець цього вектора має комплексну координату . Тоді число будемо називати комплексною координатою вектора . Звідси бачимо, що: 1) рівні вектори мають одну і ту ж комплексну координату; 2) комплексна координата вектора з початком в початку координат співпадає з координатою його кінця. Можна сказати так: якщо проекція деякого, розміщеного на декартовій площині, вектора на вісь абсцис рівна , а його проекція на вісь ординат рівна , то комплексною координатою вектора називається число . Справедливі такі твердження [1, c. 19]:

1.При додаванні векторів їх комплексні координати додаються;

2.Комплексна координата напрямленого відрізка рівна різниці між комплексною координатою його кінця і комплексною координатою його початку;

3.Комплексна координата середини рівна півсумі комплексних координат його кінців.

 

4. Дії над комплексними числами

Нехай дано два комплексні числа

 

а) Додавання комплексних чисел. [2, c. 85]

Сумою двох комплексних чисел  і   називається комплексне число , дійсна частина якого і коефіцієнт при уявній частині дорівнюють відповідно сумі дійсних частин і коефіцієнтів при уявних частинах додатків.

Приклади (додавання комплексних чисел):

 

Примітка! Означення суми комплексних чисел поширюється і на випадок трьох і більше доданків.

б) Віднімання комплексних чисел [2, c. 87].

Різницею двох комплексних чисел  і   називається комплексне число  .

Приклади (віднімання комплексних чисел):

 

в) Множення комплексних чисел [2, c. 88].

Добутком двох комплексних чисел  і  називається комплексне число .

Приклад (множення комплексних чисел):

є

Добуток двох спряжених комплексних чисел:

.

г) Ділення комплексних чисел [2, c. 91].

Часткою комплексних чисел  і   називається комплексне число

 .

Приклад (знайти частку комплексних чисел):

 

5. Модуль, аргумент, тригонометрична форма комплексного числа

З кожним комплексним числом пов’язане поняття його модуля і аргументу [1, c.33]. Якщо   - комплексна координата вектора  , то модулем цього числа називається модуль . Кут  нахилу вектора  до додатного напряму осі називається аргументом числа . У кожного комплексного числа  відмінного від нуля, є безліч аргументів. Будь-які два із них відрізняються між собою на число, кратне . Аргумент , який знаходиться на проміжку , називається головним значенням аргументу і позначається . Точніше, - це той із аргументів числа , який задовольняє нерівність .

Нехай  який-небудь із аргументів числа , а число , , тоді , . Звідси випливає тригонометрична форма комплексного числа.

.

Якщо відомо про числа  і , що їх модулі рівні і , а числа  і  є їх аргументами, то рівність  має місце тільки при , де . Іншими словами, два комплексні числа рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їх модулі, а аргументи відрізняються на число кратне .

 

6. Показникова форма комплексного числа

 

Ми розглядали тригонометричну форму запису комплексного числа: .

Формула Ейлера дозволяє записати комплексне число в компактній формі: , де - аргумент числа, а - його модуль. Це так звана показникова форма запису комплексного числа [1, c.37]. Для отримання показникової форми запису комплексного числа не потрібно попередньо записувати його в тригонометричній формі.

Якщо маємо показникову форму запису комплексного числа, то можна вказати його модуль і аргумент.

Розглянемо, якими будуть модуль і аргумент при множенні і діленні двох комплексних чисел, відмінних  від нуля.

 Нехай  Запишемо кожний із множників в показниковій формі: , . Тоді .

Отже, при множенні двох комплексних чисел їх модулі множаться, а аргументи додаються. Методом індукції можна показати, що це правило є справедливе для будь-якої кількості множників.

В випадку однакових множників отримуємо наступне правило: при піднесенні комплексного числа до степеня з натуральним показником його модуль підноситься до того ж степеня, а аргумент множиться на показник степеня.

Нехай тепер .

Записавши множники в показниковій формі отримаємо: .

Отже, при діленні комплексних чисел їх модулі діляться, а аргументи віднімаються.

 

 

7. Формули Ейлера і Муавра та їх застосування

 

Справедлива рівність .                              (7)

Формулу (1) називають формулою Ейлера [2, c, 113]. Виконуються такі властивості

            ,      (8)

                    (9)

              (10)

Покажемо це . 

 

Отже, формула (8) вірна для будь-яких  і . Поставивши в (8) , отримаємо: , а звідси випливає, що , тобто формула (1.12).

Для доведення формули (10) для будь-яких натуральних  скористаємося методом математичної індукції. При  формула (10) є очевидною. Нехай вона має місце для : . Покажемо, що формула (10) справедлива для :

.

Отже, формула (10) справедлива для будь-якого натурального . Нехай - ціле від’ємне число, тобто , де - натуральне число.

 

Отже формула (10) справедлива для будь-якого . Її називають формулою Муавра.  Відома інша форма запису: . З формули Ейлера випливає дві формули які виражають  і  через уявні експоненти:

            .  (11)

Додаючи формули (1.10) і (1.14) отримаємо:

,

які рівносильні  формулам: ,  .

Формули Ейлера і Муавра дозволяють ефективно розв’язувати різні задачі, яки пов’язані з тригонометричними функціями. Їх можна використовувати при обчисленні різних тригонометричних сум, з якими доводиться зустрічатися в різних прикладних дисциплінах. Загальний принцип обчислення таких сум полягає в тому, що дану дійсну суму замінюють деякою комплексною сумою, яку обчислюють за допомогою використання формул суми членів геометричної прогресії.

Наприклад: Обчислити суму:  , де

,

.

За формулами Ейлера і Муавра маємо:

 

Обчислимо  за формулою суми членів геометричної прогресії: .

Для того щоб знайти і  достатньо з виділити дійсну і уявну частину.

 

Отже,  , .

Формули Ейлера можна використовувати також при вивченні коливальних процесів. Розглянемо два гармонічні коливання точки з одною частотою :

 

де  – амплітуди коливань, а - початкові фази.

Покажемо, що при додаванні гармонічних коливань отримаємо гармонічне коливання  з такою ж частотою .

 

Цю суму можна розглянути як уявну частину комплексного суми , тобто  .

Запишемо комплексне число  в показниковій формі : =. Тоді . Отже, - частота гармонічного коливання  , - його амплітуда.

Позначимо різницю початкових фаз через . Обчислимо амплітуду  отриманого гармонічного коливання. Враховуючи, що , отримаємо: Дана формула показує, що максимальна амплітуда результуючого коливання рівна (при ) , тобто тоді коли початкові фази в двох коливаннях однакові. Якщо  і  , то при додаванні коливань точка залишиться в стані спокою.

 

8. Приклад застосування комплексних чисел для обчислення центру мас

 

Застосування комплексних чисел спрощує розв’язування складних задач на побудову (з допомогою циркуля і лінійки). Суть цього методу полягає в тому, що ми зводимо задачу до побудови якої-небудь точки, а  комплексну координату цієї точки виражаємо формулою через величини, які можна вважати відомими. По отриманій формулі будуємо шукану точку. Цей метод доцільно застосовувати в задачах, де мова йде про повороти [1, c.56].

Нехай на площині вибрано декілька точок (мал.6) і в кожній точці поміщені маси . Матеріальні точки, які виникли в результаті визначимо так:. Центром мас цієї системи матеріальних точок називається така точка, для якої справедлива векторна рівність:

            .     (12)

Виберемо на площині декартову систему координат, тоді точки  отримують комплексні координати, які позначимо буквами . Вектори  мають комплексні координати , а рівність (1.15) рівносильна рівності:

              (13)

звідки отримуємо формулу для комплексної координати центра мас:

               (14)

Із формул (12)-(14) випливають важливі властивості центра мас:

1.Кожна система матеріальних точок з ненульовою сумарною масою має центр мас і до того ж єдиний.

2.Центр двох додатних мас розміщений на відрізку, який з’єднує ці матеріальні точки, і його положення задовольняє таке правило: . Якщо маси не рівні, то центр двох мас ближче до більшої з них.

3.Якщо в системі матеріальних точок

                       (15)

відібрати декілька матеріальних точок

                (16)

і зосередити їх сумарну масу в їх центр мас , то від цього положення центра мас всієї системи (16) не зміниться. Іншими словами система матеріальних точок

                  (17)

має той же центр мас, що й система (15).

Як для механіки, так і для геометрії, важливою є теорема Лагранжа про моменти інерції. Нехай на площині є матеріальна точка  і точка . Ейлер назвав моментом інерції матеріальної точки  відносно точки величину ,а моментом інерції системи матеріальних точок відносно точки : . Виявляється, що, якщо відомий момент інерції системи матеріальних точок (15) відносно її центра мас, то легко знайти її момент інерції відносно будь-якої іншої точки .

Теорема Лагранжа. Момент інерції системи матеріальних точок

 

відносно точки  може бути виражений через момент інерції тієї ж системи відносно її центра мас  за формулою , де -сумарна маса системи (16), тобто .

Доведення. Для конкретності обмежимося випадком трьох матеріальних точок, які лежать в одній площині. Виберемо на площині декартову систему координат. Нехай точки  мають комплексні координати . Тоді

            ,       (18)

            ,       (19)

             .

 Оскільки

                   (20)

то   .

Аналогічно:

 ,

 .

 Додаючи почленно останні три рівності і враховуючи рівності (15)-(20), отримаємо:  .

Висновки

 

У зв'язку з розвитком алгебри потрібно було ввести понад раніше відомих позитивних і негативних чисел числа нового роду. Онії називаються комплексними.

 Комплексне число має вигляд а + bi; тут а і b - дійсні числа, а i - число нового роду, зване уявною одиницею.

 “Уявні” числа складають приватний вид комплексних чисел (коли а = 0). З іншого боку, і дійсні числа є приватним видом комплексних чисел (коли b = 0).

 Дійсне число а назвемо  абсцисою комплексного числа а + bi; дійсне число b - ординатою комплексного числа а + bi. Основна властивість числа i полягає в тому, що твір i*i рівно -1.

 Довгий час не вдавалося знайти такі фізичні величини, над якими можна виконувати дії, підпорядковані тим же правилам, що і дії над комплексними числами. Звідси назви: “уявна одиниця”, “уявне число” і т.п. В даний час відомий цілий ряд таких фізичних величин, і комплексні числа широко застосовуються не тільки в математиці, але також і у фізиці і техніці.

 Правило кожної дії над комплексними числами виводиться з визначення цієї дії. Але визначення дій над комплексними числами не вигадані довільно, а встановлені з таким розрахунком, щоб узгоджувалися з правилами дій над дійсними числами. Адже комплексні числа повинні розглядатися не у відриві від дійсних, а спільно з ними.

 

 

Література

Я. П. Понарин. Алгебра комплексных чисел в геометрических задачах. - МЦНМО, 2004 г.

А. В. Гладкий. Числа: натуральные, рациональные, действительные, комплексные. - Вербум-М, 2007

И. К. Игнатович. Алгебра и начала анализа. - ТетраСистемс, 2008 г.


Переплет дипломов
Главная Новости О компании Наши услуги Цены Способы оплаты Авторам Вопрос-ответ Карта сайта Контакты
Партнеры: "ЦОДНТИ" "Первая Переплетная Мастерская""ЮТЭК"
Academic Journal Catalogue (AJC)