Contribution to International Economy

Роль теорії диференційних рівнянь в сучасній математиці

Вступ

Математичний аналіз - сукупність розділів математики, присвячених дослідженню функцій і їх узагальнень методами диференціального і інтегрального числень. При такому загальному трактуванні до аналізу слід віднести і функціональний аналіз разом з теорією інтеграла Лебега, комплексний аналіз (ТФКП), що вивчає функції, задані на комплексній площині, нестандартний аналіз, що вивчає нескінченно малі і нескінченно великі числа, а також варіаційне числення.

Попередниками математичного аналізу були античний метод вичерпання і метод неделімих. Всі три напрями, включаючи аналіз, ріднить загальна початкова ідея: розкладання на нескінченно малі елементи, природа яких, втім, представлялася авторам ідеї досить туманно. Підхід (числення нескінченне малих) алгебри починає з'являтися у Валліса, Джеймса Грегорі і Барроу. Повною мірою нове числення як систему створив Ньютон, який, проте, довгий час не публікував свої відкриття.

Офіційною датою народження диференціального числення можна вважати травень 1684, коли Лейбніц опублікував першу статтю «Новий метод максимумів і мінімумів.». Ця стаття в стислій і малодоступній формі висловлювала принципи нового методу, названого диференціальним численням.

У XVIII століттях були розроблені і практично застосовані такі розділи аналізу, як варіаційне числення, звичайні диференціальні рівняння і диференціальні рівняння в приватних похідних, перетворення Фурье і функції, що проводять.

 

У XIX столітті Коші першим дав аналізу тверде логічне обгрунтування, ввівши поняття послідовності, він же відкрив нову сторінку комплексного аналізу. Пуассон, Ліувіль, Фурье та інші вивчали диференціальні рівняння в приватних похідних і гармонійний аналіз.

У останній третині XIX століття Вейерштрас провів арифметизацію аналізу, вважаючи геометричне обгрунтування незручним, і запропонував визначення межі через ε-δ-язык;. Тоді математики почали сумніватися в існуванні безлічі дійсних чисел. Дедекинд ввів дійсні числа за допомогою дедекиндових перетинів. В цей час спроби удосконалення теореми про інтегрованість по Ріману привели до створення класифікації розривності речових функцій. Також були відкриті «патологічні» приклади (безперервні функції, що ніде не диференціюються, заповнюють простір криві). У зв'язку з цим Жордан розробив теорію міри, а Кантора - теорію множин, і на початку XX століття математичний аналіз був формалізований з їх допомогою.

 

 

Роль теорії диференційних рівнянь в сучасній математиці та її додатках

 

Теорія диференціальних рівнянь є одним з найбільших розділів сучасної математики. Щоб охарактеризувати її місце в сучасній математичній науці, перш за все необхідно підкреслити основні особливості теорії диференціальних рівнянь, математики, що складається з двох обширних областей: теорії звичайних диференціальних рівнянь і теорії рівнянь з приватними похідними.

Перша особливість - це безпосередній зв'язок теорії диференціальних рівнянь з додатками. Характеризуючи математику як метод проникнення в таємниці природи, можна сказати, що основним шляхом застосування цього методу є формування і вивчення математичних моделей реального світу. Вивчаючи які-небудь фізичні явища, дослідник перш за все створює його математичну ідеалізацію або, іншими словами, математичну модель, тобто, нехтуючи другорядними характеристиками явища, він записує основні закони, керівники цим явищем, в математичній формі. Дуже часто ці закони можна виразити у вигляді диференціальних рівнянь. Такими виявляються моделі різних явищ механіки суцільного середовища, хімічних реакцій, електричних і магнітних явищ і ін.

Досліджуючи отримані диференціальні рівняння разом з додатковими умовами, які, як правило, задаються у вигляді початкових і граничних умов, математик отримує відомості про явище, що відбувається, іноді може дізнатися його минуле і майбутнє. Вивчення математичної моделі математичними методами дозволяє не тільки отримати якісні характеристики фізичних явищ і розрахувати із заданим ступенем точності хід реального процесу, але і дає можливість проникнути в суть фізичних явищ, а іноді передбачити і нові фізичні ефекти. Буває, що сама природа фізичного явища підказує і підходи, і методи математичного дослідження. Критерієм правильності вибору математичної моделі є практика, зіставлення даних математичного дослідження з експериментальними даними.

Для складання математичної моделі у вигляді диференціальних рівнянь потрібно, як правило, знати тільки локальні зв'язки і не потрібна інформація про все фізичне явище в цілому. Математична модель дає можливість вивчати явище в цілому, передбачити його розвиток, робити кількісні оцінки змін, що відбуваються в нім з часом. Нагадаємо, що на основі аналізу диференціальних рівнянь так були відкриті електромагнітні хвилі, і лише після експериментального підтвердження Герцем фактичного існування електромагнітних коливань стало можливим розглядати рівняння Максвела як математичну модель реального фізичного явища.

Як відомо, теорія звичайних диференціальних рівнянь почала розвиватися в XVII столітті одночасно з виникненням диференціального і інтегрального числення. Можна сказати, що необхідність вирішувати диференціальні рівняння для потреб механіки, тобто знаходити траєкторії рухів, у свою чергу, з'явилася поштовхом для створення Ньютоном нового числення. Органічний зв'язок фізичного і математичного ясно виявилася в методі флюксій Ньютона. Закони Ньютона є математичною моделлю механічного руху. Через звичайні диференціальні рівняння йшли додатки нового числення до завдань геометрії і механіки; при цьому вдалося вирішити завдання, які протягом довгого часу не піддавалися рішенню. У небесній механіці виявилося можливим не тільки отримати і пояснити вже відомі факти, але і зробити нові відкриття (наприклад, відкриття Льоверье в 1846 році планети нептун на основі аналізу диференціальних рівнянь).

Звичайні диференціальні рівняння виникають тоді, коли невідома функція залежить лише від однієї незалежної змінної. Співвідношення між незалежною змінною, невідомою функцією і її похідними до деякого порядку складає диференціальне рівняння. В даний час теорія звичайних диференціальних рівнянь є багатою, широко розгалуженою теорією. Одними з основних завдань цієї теорії є існування у диференціальних рівнянь таких рішень, які задовольняють додатковим умовам (початкові дані Коші, коли потрібно визначити рішення, що набуває заданих значень в деякій крапці і задані значення похідних до деякого кінцевого порядку, краєві умови та інші), єдиність рішення, його стійкість. Під стійкістю рішення розуміють малі зміни вирішення при малих змінах додаткових даних завдання і функцій, що визначають само рівняння. Важливими для додатків є дослідження характеру рішення, або, як то кажуть, якісної поведінки рішення, знаходження методів чисельного вирішення рівнянь. Теорія повинна дати в руки інженера і фізика методи економного і швидкого обчислення рішення.

Рівняння з приватними похідними почали вивчатися значно пізніше. Потрібно підкреслити, що теорія рівнянь з приватними похідними виникла на основі конкретних фізичних завдань, що приводять до дослідження окремих рівнянь з приватними похідними, які отримали назву основних рівнянь математичної фізики. Вивчення математичних моделей конкретних фізичних завдань привело до створення в середині XVIII століття нової гілки аналізу - рівнянь математичної фізики, яку можна розглядати як науку про математичні моделі фізичних явищ.

 

Основи цієї науки були закладені працями Д'аламбера (1717 - 1783), Ейлера (1707 - 1783), Бернуллі (1700 - 1782), Лагранжа (1736 - 1813), Лапласа (1749 - 1827), Пуассона (1781 - 1840), Фурье (1768 - 1830) і інших учених. Цікаве те, що багато хто з них був не тільки математиками, але і астрономами, механіками, фізиками. Розроблені ними при дослідженні конкретних завдань математичної фізики ідеї і методи виявилися застосовними до вивчення широких класів диференціальних рівнянь, що і послужило в кінці XIX століття основою для розвитку загальної теорії диференціальних рівнянь.

Найважливішими рівняннями математичної фізики є:

рівняння Лапласа

рівняння теплопровідності

хвилеве рівняння

До вивчення рівняння Лапласа приводять найрізноманітніші фізичні завдання абсолютно різної природи. Це рівняння зустрічається в завданнях електростатики, теорії потенціалу, гідродинаміки, теорії теплопередачі і багатьох інших розділах фізики, а також в теорії функцій комплексного змінного і в різних областях математичного аналізу. Рівняння Лапласа є простим представником широкого класу так званих еліптичних рівнянь.

Так само як і рівняння Лапласа, важливе місце в теорії рівнянь з приватними похідними і її застосуваннях займає рівняння теплопровідності. Це рівняння зустрічається в теорії теплопередачі, в теорії дифузії і багатьох інших розділах фізики, а також грає важливу роль в теорії вірогідності. Воно є найбільш простим представником класу так званих параболічних рівнянь. Деякі властивості вирішень рівняння теплопровідності нагадують властивості вирішень рівняння Лапласа, що знаходиться у згоді з їх фізичним сенсом, оскільки рівняння Лапласа описує, зокрема, стаціонарний розподіл температури. Рівняння теплопровідності було виведене і вперше досліджене в 1822 році в знаменитій роботі Ж. Фурье "Аналітична теорія тепла", яка зіграла важливу роль в розвитку методів математичної фізики і теорії тригонометричних рядів.

Хвилеве рівняння описує різні хвилеві процеси, зокрема розповсюдження звукових хвиль. Воно грає важливу роль в акустиці. Це представник класу так званих гіперболічних рівнянь.

Вивчення основних рівнянь математичної фізики дало можливість провести класифікацію рівнянь і систем з приватними похідними. І.Г. Петровським в 30-і роки були виділені і вперше вивчені класи еліптичних, параболічних і гіперболічних систем, які тепер носять його ім'я. В даний час це найбільш добре вивчені класи рівнянь.

Важливо відзначити, що для перевірки правильності математичної моделі дуже важливі теореми існування вирішень відповідних диференціальних рівнянь, оскільки математична модель не завжди адекватна конкретному явищу і з існування рішення реальної задачі (фізичною, хімічною, біологічною) не виходить існування рішення відповідної математичної задачі.

В даний час важливу роль в розвитку теорії диференціальних рівнянь грає застосування сучасних електронних обчислювальних машин. Дослідження диференціальних рівнянь часто полегшує можливість провести обчислювальний експеримент для виявлення тих або інших властивостей їх рішень, які потім можуть бути теоретично обгрунтовані і послужать фундаментом для подальших теоретичних досліджень.

Обчислювальний експеримент став також могутнім засобом теоретичних досліджень у фізиці. Він проводиться над математичною моделлю фізичного явища, але при цьому по одних параметрах моделі обчислюються інші параметри і робляться виводи про властивості фізичного явища, що вивчається. Мета обчислювального експерименту - побудова з необхідною точністю за допомогою ЕОМ за можливо менший машинний час адекватного кількісного опису фізичного явища, що вивчається. У основі такого експерименту дуже часто лежить чисельне вирішення системи рівнянь з приватними похідними. Звідси відбувається зв'язок теорії диференціальних рівнянь з обчислювальною математикою і, зокрема, з такими її важливими розділами, як метод кінцевих різниць, метод кінцевих елементів та інші.

Отже, перша межа теорії диференціальних рівнянь - її тісний зв'язок з додатками. Іншими словами, можна сказати, що теорія диференціальних рівнянь народилася з додатків. У цьому своєму розділі - теорії диференціальних рівнянь - математика перш за все виступає як невід'ємна частина природознавства, на якій грунтується вивід і розуміння кількісних і якісних закономірностей, складових зміст наук про природу.

Саме природознавство є для теорії диференціальних рівнянь чудовим джерелом нових проблем, воно значною мірою визначає напрям їх досліджень, дає правильну орієнтацію цим дослідженням. Більш того, диференціальні рівняння не можуть плідно розвиватися у відриві від фізичних завдань. І не тільки тому, що природа багатша за людську фантазію. Розвинена останніми роками теорія про нерозв'зність деяких класів рівнянь з приватними похідними показує, що навіть дуже прості формою лінійні рівняння з приватними похідними з коефіцієнтами, що нескінченно диференціюються, можуть не мати жодного рішення не тільки в звичайному сенсі, але також і в класах узагальнених функцій, і в класах гіперфункцій, і, отже, для них не може бути побудована змістовна теорія (теорія узагальнених функцій, узагальнювальна основне поняття математичного аналізу, - поняття функції, була створена в середині нашого століття працями С.Л. Собольова і л. Шварца).

Вивчення рівнянь з приватними похідними в загальному випадку - таке складне завдання, що якщо хто-небудь навмання напише яке-небудь навіть лінійне диференціальне рівняння з приватними похідними, то з великою вірогідністю жоден математик не зможе про нього сказати що-небудь і, зокрема, з'ясувати, чи має це рівняння хоч би одне рішення.

Завдання фізики і інших природних наук забезпечують теорію диференціальних рівнянь проблемами, з яких зростають багаті змістом теорії. Проте буває і так, що математичне дослідження, народжене в рамках самої математики, через значний час після його проведення знаходить додаток в конкретних фізичних проблемах в результаті їх глибшого вивчення. Таким прикладом може служити завдання Трікомі для рівнянь змішаного типу, яка опісля більше чверті століття після її рішення знайшла важливі застосування в завданнях сучасної газової динаміки при вивченні надзвукового перебігу газу.

Ф. Клейн в книзі "Лекції про розвиток математики в XIX сторіччі" писав, що "математика супроводжувала по п'ятах фізичне мислення і, назад, отримала найбільш могутні імпульси з боку проблем, що висувалися фізикою".

Другою особливістю теорії диференціальних рівнянь є її зв'язок з іншими розділами математики, такими, як функціональний аналіз, алгебра і теорія вірогідності. Теорія диференціальних рівнянь і особливо теорія рівнянь з приватними похідними широко використовують основні поняття, ідеї і методи цих областей математики і, більш того, впливають на їх проблематику і характер досліджень. Деякі великі і важливі розділи математики були викликані до життя завданнями теорії диференціальних рівнянь. Класичним прикладом такої взаємодії з іншими областями математики є дослідження коливань струни, що проводилися в середині XVIII століття.

 

При вивченні конкретних диференціальних рівнянь, що виникають в процесі вирішення фізичних завдань, часто створювалися методи, що володіють великою спільністю і що застосовувалися без строгого математичного обгрунтування до широкого круга математичних проблем. Такими методами є, наприклад, метод Фурье, метод Рітца, метод Галеркіну, методи теорії обурень та інші. Ефективність застосування цих методів з'явилася одній з причин спроб їх строгого математичного обгрунтування. Це приводило до створення нових математичних теорій, нових напрямів досліджень. Так виникла теорія інтеграла Фурье, теорія розкладання по власних функціях і, далі, спектральна теорія операторів і інші теорії.

У перший період розвитку теорії звичайних диференціальних рівнянь одного з основних завдань було знаходження загального рішення в квадратурі, тобто через інтеграли від відомих функцій (цим займалися Ейлер, Ріккаті, Лагранж, Д'аламбер і ін.). Завдання інтеграції диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами зробили великий вплив на розвиток лінійної алгебри.

Початок якісної теорії диференціальних рівнянь був покладений в роботах знаменитого французького математика Пумнкаре. Ці дослідження Пумнкаре по звичайних диференціальних рівняннях привели його до створення основ сучасної топології.

Таким чином, диференціальні рівняння знаходяться як би на перехресті математичних доріг. З одного боку, нові важливі досягнення в топології, алгебрі, функціональному аналізі, теорії функцій і інших областях математики відразу ж приводять до прогресу в теорії диференціальних рівнянь і тим самим знаходять шлях до додатків. З іншого боку, проблеми фізики, сформульовані на мові диференціальних рівнянь, викликають до життя нові напрями в математиці, приводять до необхідності вдосконалення математичного апарату, дають початок новим математичним теоріям, що мають внутрішні закони розвитку, свої власні проблеми.

У своїх "Лекціях про розвиток математики в XIX сторіччі" Ф. Клейн писав: "Математика в наші дні нагадує збройове виробництво в мирний час. Зразки захоплюють знавця. Призначення цих речей відходить на задній план."

Не дивлячись на ці слова, можна сказати, що не можна стояти за "роззброєння" математики. Пригадаємо, наприклад, що стародавні греки вивчали конічні перетини задовго до того, як було відкрито, що по ним рухаються планети. Дійсно, створена стародавніми греками теорія конічних перетинів не знаходила свого застосування майже дві тисячі років, поки Кеплер не скористався нею для створення теорії руху небесних тіл. Виходячи з теорії Кеплера, Ньютон створив механіку, що є основою всієї фізики і техніки.

Іншим таким прикладом може служити теорія груп, що зародилася в кінці XVIII століття (Лагранж, 1771 рік) в надрах самої математики і що знайшла лише в кінці XIX століття плідне застосування спочатку в кристалографії, а пізніше в теоретичній фізиці і інших природних науках. Повертаючись до сучасності, відмітимо, що найважливіші науково-технічні завдання, такі, як оволодіння атомною енергією, космічні польоти, були успішно вирішені в Радянському Союзі також завдяки високому теоретичному рівню розвитку математики в нашій країні.

Таким чином, в теорії диференціальних рівнянь ясно простежується основна лінія розвитку математики: від конкретного і приватного через абстракцію до конкретного і приватного.

Як вже мовилося, в XVIII і XIX століттях вивчалися в основному конкретні рівняння математичної фізики. Із загальних результатів теорії рівнянь з приватними похідними в цей період слід зазначити побудову теорії рівнянь з приватними похідними першого порядку (Монж, Коші, Шарпі) і теорему Ковалевської.

Теореми про існування аналітичного (тобто уявного у вигляді статечного ряду) рішення для звичайних диференціальних рівнянь, а також для лінійних систем рівнянь з приватними похідними були доведені раніше Коші (Cauchy, 1789 - 1857). Ці питання розглядалися ним в декількох статтях. Але роботи Коші не були відомі Вейерштрасу, який запропонував С.В. Ковалевською вивчити питання про існування аналітичних вирішень рівнянь з приватними похідними як докторська дисертація. (Відзначу, що Коші опублікував 789 статей і велике число монографій; його спадщина величезна, тому недивно, що деякі його результати могли залишитися якийсь час непоміченими.) С.В. Ковалевська в своїй роботі спиралася на лекції Вейерштраса, де розглядалося завдання з початковими умовами для звичайних диференціальних рівнянь. Дослідження Ковалевською додало питанню про вирішувану завдання Коші для рівнянь і систем з приватними похідними в певному значенні завершуючий характер. Пумнкаре високо цінував цю роботу Ковалевської. Він писав: "Ковалевська значно спростила доказ і надала теоремі остаточну форму".

Теорема Ковалевською займає важливе місце в сучасній теорії рівнянь з приватними похідними. Їй, мабуть, належить одне з перших місць по числу застосувань в різних областях теорії рівнянь з приватними похідними: теорема Хольмгрена про єдиність рішення задачі Коші, теореми існування рішення задачі Коші для гіперболічних рівнянь (Шаудер, Петровський), сучасна теорія вирішуваної лінійних рівнянь і багато інших результатів використовують теорему Ковалевської.

Важливим досягненням теорії рівнянь з приватними похідними з'явилося створення на рубежі XIX століття теорії інтегральних рівнянь Фредгольма і вирішення основних краєвих завдань для рівняння Лапласа. Можна вважати, що основні підсумки розвитку теорії рівнянь з приватними похідними XIX століття підведені в підручнику Е. Гурса "Курс математичного аналізу", виданому в 20-і роки нашого століття. Слід зазначити великий внесок, який внесли до теорії диференціальних рівнянь і математичної фізики праці М.В. Остроградського по варіаційних методах, праці А.М. Ляпунова по теорії потенціалу і по теорії стійкості руху, праці В.А. Стеклова по обгрунтуванню методу Фурье та інші.

Тридцяті і подальші роки нашого століття були періодом бурхливого розвитку загальної теорії рівнянь з приватними похідними. У роботах І.Г. Петровського були закладені основи загальної теорії систем рівнянь з приватними похідними, виділені класи систем рівнянь, які в даний час носять назву еліптичних, гіперболічних і параболічних по Петровському систем, досліджені їх властивості, вивчені характерні для них завдання.

У теорію рівнянь з приватними похідними все глибше почали проникати ідеї функціонального аналізу. Було введено поняття узагальненого рішення як елементу деякого функціонального простору. Ідея узагальненого рішення систематично проводилася в роботах С.Л. Собольова. У зв'язку з дослідженням диференціальних рівнянь Соболевим в 30-годи була створена теорія узагальнених функцій, що грає виключно важливу роль в сучасній математиці і фізиці. С.Л. Соболевим була побудована теорія вкладення функціональних просторів, які в даний час носять назву просторів Собольова. А.Н. Тіхоновим була побудована теорія некоректних завдань.

Видатний внесок до сучасної теорії диференціальних рівнянь внесли російські математики Н.Н. Боголюбов, А.Н. Колмогоров, І.Г. Петровський, Л.С. Понтрягин, С.Л. Собольов, А.Н. Тіхонов та інші.

Вплив на розвиток теорії рівнянь з приватними похідними в нашій країні надав семінар, яким в 40-і і 50-і роки керували І.Г. Петровський, С.Л. Собольов, А.Н. Тіхонов. Значну роль в розвитку теорії рівнянь з приватними похідними зіграла проблемно-оглядова стаття І.Г. Петровського "Про деякі проблеми теорії рівнянь з приватними похідними", опублікована в 1946 році в журналі "Успіхи математичних наук". У ній викладений стан теорії рівнянь з приватними похідними того часу і намічені шляхи її подальшого розвитку. Тепер, через майже 50 років, можна сказати, що розвиток теорії рівнянь з приватними похідними йшов саме по тому шляху, який був накреслений в цій чудовій статті.

Цікавим прикладом залучення ідей і засобів з інших областей математики є вирішення останніми роками завдання Коші для рівняння Кортевега-де Фріса за допомогою зворотного завдання теорії розсіяння. На основі виниклого при цьому методу знайдені нові класи інтегрованих нелінійних рівнянь і систем. При цьому істотну роль зіграло застосування методів геометрії алгебри, що дозволило, зокрема, проінтегрувати рівняння Янга-міллса, що грають важливу роль в квантовій теорії поля.

У останні десятиліття виник і інтенсивно розвивається новий розділ теорії рівнянь з приватними похідними - теорія усереднювання диференціальних операторів. Ця теорія виникла під впливом завдань фізики, механіки суцільного середовища і техніки, зокрема, пов'язаних з вивченням композитів (сильно неоднорідних матеріалів, широко використовуваних в даний час в інженерній техніці), пористих середовищ, перфорованих матеріалів. Такі завдання приводять до рівнянь з приватними похідними з швидко осцилюючими коефіцієнтами або в областях з складною межею. Чисельне вирішення такого роду завдань украй скрутно. Необхідний асимптотичний аналіз завдання, що і приводить до завдань усереднювання.

Багато робіт останніми роками присвячено вивченню поведінки вирішень еволюційних рівнянь (тобто рівнянь, що описують процеси, що розвиваються в часі) при необмеженому зростанні часу і так званих аттракторов, що виникають при цьому. Продовжує привертати увагу дослідників питання про характер гладкості вирішень краєвих завдань в областях з нерівною межею, велике число робіт останніми роками присвячене вивченню конкретних нелінійних завдань математичної фізики.

За останніх півтора - два десятки років сильно змінилися обличчя якісної теорії звичайних диференціальних рівнянь. Одним з важливих досягнень є відкриття граничних режимів, які отримали назву аттракторов.

Виявилось, що разом із стаціонарними і періодичними граничними режимами можливі граничні режими абсолютно іншої природи, а саме такі, в яких кожна окрема траєкторія нестійка, а само явище виходу на даний граничний режим структурно стійко. Відкриття і докладне вивчення для систем звичайних диференціальних рівнянь таких граничних режимів, званих аттракторамі, зажадало залучення засобів диференціальної геометрії і топології, функціонального аналізу і теорії вірогідності. В даний час відбувається інтенсивне впровадження цих математичних понять в додатки. Так, наприклад, явища, що відбуваються під час переходу ламінарного течії в турбулентне при підвищенні чисел Рейнольдса, описуються аттрактором. Вивчення аттракторов зроблене також і для рівнянь з приватними похідними.

Іншим важливим досягненням теорії звичайних диференціальних рівнянь з'явилося вивчення структурної стійкості систем. При використанні будь-якої математичної моделі виникає питання про коректність застосування математичних результатів до реальної дійсності. Якщо результат сильно чутливий до щонайменшої зміни моделі, то скільки завгодно малі зміни моделі приведуть до моделі з абсолютно іншими властивостями. Такі результати не можна поширювати на досліджуваний реальний процес, оскільки при побудові моделі завжди проводиться деяка ідеалізація і параметри визначаються лише приблизно.

Це привело А.А. Андронова і Л.С. Понтрягина до поняття грубості системи звичайних диференціальних рівнянь або поняття структурної стійкості. Це поняття виявилося дуже плідним у разі малої розмірності фазового простору (1 або 2), і в цьому випадку питання структурної стійкості були детально вивчені.

У 1965 році Смейл показав, що при великій розмірності фазового простору існують системи, в деякій околиці яких немає жодної структурно стійкої системи, тобто такий, що при малій зміні векторного поля вона залишається в певному значенні еквівалентної первинної. Цей результат має фундаментальне значення для якісної теорії звичайних диференціальних рівнянь, оскільки показує нерозв'зність завдання топологічній класифікації систем звичайних диференціальних рівнянь, і може бути порівнянний за своїм значенням з теоремою Ліувіля про нерозв'зність диференціальних рівнянь в квадратурі.

До важливих досягнень можна віднести побудову А.Н. Колмогоровим теорії обурень гамільтонових систем, обгрунтування методу усереднювання для багаточастинкових систем, розвиток теорії біфуркацій, теорії обурень, теорії релаксаційних коливань, подальше глибоке вивчення показників Ляпунова, створення теорії оптимального управління процесами, описуваними диференціальними рівняннями.

Таким чином, теорія диференціальних рівнянь в даний час є виключно багатою змістом, розділ математики, що швидко розвивається, тісно пов'язаний з іншими областями математики і з її застосуваннями.

Бурбак, кажучи про архітектуру математики, так характеризує її сучасний стан:

"Дати в даний час загальне уявлення про математичну науку - означає займатися такою справою, яка, як здається, із самого початку натрапляє на майже непереборні труднощі завдяки обширності і різноманітності даного матеріалу. Статті по чистій математиці, що публікуються у всьому світі в середньому протягом одного року, складають багато тисяч сторінок. Не всі вони, звичайно, мають однакову цінність; проте, після очищення від неминучих покидьків виявляється, що щороку математична наука збагачується масою нових результатів, набуває все більш різноманітного змісту і постійно дає відгалуження у вигляді теорій, які безупинно видозмінюються, перебудовуються, зіставляються і комбінуються один з одним. Жоден математик не в змозі прослідкувати цей розвиток у всіх подробицях, навіть якщо він присвятить цьому всю свою діяльність. Багато хто з математиків влаштовується в якому-небудь закутку математичної науки, звідки вони не прагнуть вийти і не тільки майже повністю ігнорують все те, що не стосується предмету їх досліджень, але не в силах навіть зрозуміти мову і термінологію своїх побратимів, спеціальність яких далека від них".

Проте не можна заперечувати значення для математичних досліджень навіть тих, хто знаходиться "в закутку" математичної науки. Основне русло математики, як і великої річки, живлять перш за все невеликі струмочки. Крупні відкриття, прорив фронту досліджень дуже часто забезпечуються і готуються копіткою працею дуже багатьох дослідників. Все сказане відноситься не тільки до всієї математики, але і до одного з найобширніших її розділів W теорії диференціальних рівнянь, яка в даний час є важко осяжною сукупністю фактів, ідей і методів, дуже корисних для додатків і стимулюючих теоретичні дослідження у всіх інших розділах математики.

Багато розділів теорії диференціальних рівнянь так розрослися, що стали самостійними науками. Можна сказати, що велика частина шляхів, що зв'язують абстрактні математичні теорії і природничонаукові застосування, проходить через диференціальні рівняння. Все це забезпечує теорії диференціальних рівнянь почесне місце в сучасній науці.

 

Аналітичні функції та задача Коші.

 

Аналітична теорія диференціальних рівнянь - розділ теорії звичайних диференціальних рівнянь, в якому рішення досліджують методами теорії аналітичних функцій. Оскільки написати рішення в явному вигляді вдається лише для деяких диференціальних рівнянь, виникло завдання дослідження різних властивостей вирішень по вигляду рівняння. В результаті з'явилися два напрями в дослідженні диференціальних рівнянь: аналітична теорія диференціальних рівнянь і теорія динамічних систем. У аналітичній теорії диференціальних рівнянь досліджують поведінку рішень на всій комплексній площині, розташування особливих точок, поведінка рішень в їх околиці і так далі Зокрема, методами аналітичної теорії диференціальних рівнянь вивчають властивості спеціальних функцій математичної фізики. Аналітична теорія диференціальних рівнянь істотна для завдання про рух твердого тіла навколо нерухомої точки, завдань гідро- і аеродинаміки, теорії солітонів і ін. Методи і результати аналітичної теорії диференціальних рівнянь різні для лінійних і нелінійних диференціальних рівнянь.

 Лінійна теорія.

Розглянемо систему з n рівнянь

де  - матриця-функція порядку   з   елементами , і скалярне рівняння порядку n .

           (2)

Аналітична рішень. Хай D - область в комплексній площині z, всі елементи  і функції  аналітічни в D. Якщо область D односвязна, то всі вирішення системи (1) є однозначними аналітичними в D вектор-функціями, в неодносвязной області рішення є, як правило, багатозначними.

То ж справедливо для рівняння (2).

Розглянемо однорідні рівняння, відповідні (1) і (2):

 

Точка z0 називається особливою точкою (ОТ) системи (3) або рівняння (4), якщо вона є ОТ для одного з елементів  (коефіцієнти аi(z)). Хай z0 - полюс, тоді система (3) має фундаментальну матрицю  вигляду , де Р - постійна матриця, матриця-функція   розкладається в ряд Лорана , що сходиться в деякому кільці вигляду . ОТ z0 називається регулярною, якщо ряд Лорана для  містить кінцеве число негативних ступенів , і іррегулярною інакше. Це непряма класифікація: вона дається в термінах властивостей рішень, а не коефіцієнтів системи. Аналогічно класифікуються ОТ рівняння (4). Нескінченно видалена точка  називається ОТ системи (3), якщо точка  - особлива для системи , отриманої з (3) заміною змінного ; аналогічно для рівняння (4). Регулярні особливі точки - найбільш простій і добре вивчений тип ОТ. Точка z0 є регулярною ОТ рівняння (4) тоді і тільки тоді, коли

 

де функції  аналітічни в точці z0. Крапка  є регулярною ОТ рівняння (4) тоді і тільки тоді, коли , де функції   аналітічни в крапці . Визначальне рівняння в регулярній ОТ z0 має вигляд

 

його коріння називається характеристичними показниками в точці z0. Якщо жодна з різниць , не є ціле число, то рівняння (4) має наступну фундаментальну систему рішень:

 

де функції   аналітічни в точці z0. Якщо серед цих різниць є цілі числа, то рішення можуть містити цілі ступені логарифма ln(z-z0). Рівняння 2-го порядку з регулярною ОТ z0 має вигляд  

           (5)

де функції ,   аналітічни в точці z0, що визначає рівняння таке:

.

Якщо  - неціле число, де  - характеристичні показники, то рівняння (5) має фундаментальую систему рішень , де функції   аналітічни в точці z0  = 1. Якщо  є ціле ненегативне число, то рівняння (5) має фундаментальну систему рішень

 

де  - постійна, функції  аналітічни в точці z0 ,  = 1.

Приклади:

рівняння Ейрі:  - іррегулярна ОТ;

рівняння Бесселя:  - регулярна,  - іррегулярна ОТ;

гіпергеометричне рівняння:   має регулярні ОТ: 0, 1 .

Рівнянням класу Фукса називається рівняння (4), все ОТ якого на ріманової сфері є регулярними. Відомий загальний вид таких рівнянь. Всі основні диференціальні рівняння 2-го порядку, що виникають в завданнях математичної фізики, можна отримати з рівняння з п'ятьма регулярними незалежними ОТ; при цьому різниці характеристичних показників в кожній ОТ рівні 1/2.

Точка z0 є регулярною ОТ системи (3), якщо , де матриця-функція   аналітічна в точці z0,  . Якщо всі різниці , де  - власні значення матриці, не є цілими числами, то система (3) має фундаментальну матрицю вигляду , де Р - діагональна матриця з елементами , матриця-функція   аналітічна в точці z0 і невироджена. Якщо серед цих різниць є цілі числа, то фундам. матриця містить цілі ступені ln (). Невідомі необхідні і достатні умови того, що z0 - регулярна ОТ системи (3). Система , де  - різні комплексні числа,  - постійні ненульові матриці порядку  і , є системою класу Фукса і має регулярні ОТ  .

Іррегулярні особливі точки. Хай в системі (3)

 

де  - ціле, ряд сходиться при , тоді  є іррегулярна ОТ, і система має фундаментальну матрицю вигляду , де  - діагональна матриця, елементи якої є многочленами від  - ціле:  . Елементи   матриці S мають вигляд

 

 Ці ряди сходяться лише у виняткових випадках і є асимптотичними розкладаннями деякої фундаментальної матриці в деяких секторах комплексної площини z при . Асимптотика фундаментальної системи вирішень рівняння 2-го порядку

 

дається ВКБ-формулой

 

Нелінійна теорія.

 

Розглянемо систему з n рівнянь і задачу Коші

 

Теорема Коші. Хай вектор-функція  аналітічна в околиці точки , тоді існує, і притому тільки одне, рішення задачі (6), аналітичне в околиці точки z0.

Якщо аналітично продовжити це рішення, то воно матиме ОТ. Одна з основних відмінностей між лінійними і нелінійними рівняннями полягає в тому, що вирішення лінійного рівняння мають тільки нерухомі ОТ (вони співпадають з ОТ коефіцієнтів і правої частини), вирішення нелінійного рівняння можуть мати інші (рухомі).

Приклад: рівняння , рішення   має полюс в точці z = C, С - будь-яке.

Класифікація ОТ наступна.

1) Особлива точка алгебри. Поблизу точки   рішення рядом, що уявно сходиться, по цілих або дробових ступенях  : , де р, q - цілі числа,  .

2) Трансцендентна особлива точка. Це така неалгебраїчна ОТ, що існує . Приклад: .

3) Істотно особлива точка. Межа  не існує. Рівняння  не має рухомих істотно особливих крапок, якщо Р - поліном від  з аналітичними по z коефффіциентамі. Розглянемо автономну систему з n рівнянь          

  (7)

вектор-функція  аналітічна в околиці точки  і . Хай  - власні значення матриці Якобі , тобто матриці лінеаризованої системи. Вони називаються резонансними, якщо   при деякому s, де mj  0 - цілі числа, , і нерезонансними інакше.

Теорема Пуанкаре. Хай  нерезонансні і лежать по одну сторону від деякої прямої в комплексній площині , що проходить через початок координат. Тоді за допомогою аналітичної заміни змінних ,  система (7) приводиться до вигляду  в деякій околиці точки .

 

Спеціальні функції та їх застосування в теоретичній та математичній фізиці

 

Багато завдань теоретичної і математичної фізики приводять до рівнянь вигляду

                                      (1)

де  і  – поліноми не вищі за 2-й ступінь  – поліном не вищий за 1-й ступінь. Рівняння (1) може бути отримане з відомого в аналітичній теорії диференціальних рівнянь рівняння Римана з трьома регулярними особливими крапками. Для рівнянь (1) неважко знайти клас перетворень , що приводить їх за допомогою спеціального вибору функції  до рівнянь того ж вигляду. При цьому поліном  залишається незмінним і виявляється виділеною асимптотична поведінка рішень . В результаті для функції  виникає рівняння

 

у якому поліном  можна вибрати так, щоб він ділився без залишку на . Це дозволяє замість рівняння (1) розглядати простіше рівняння вигляду

                                                  (2)

( – деяка постійна,  и  – поліноми не вищі за 2-й і 1-й ступінь).

Рівняння (2) легко вирішується. Спочатку для нього будується клас найбільш простих рішень - класичні ортогональні поліноми, визначувані формулою Родріга

 

де функція  задовольняє рівнянню , а коефіцієнти рівняння (2) для полінома  зв'язані співвідношенням . Потім формула Родріга узагальнюється і з неї природно виникає клас інтегральних уявлень для вирішень рівняння (2) при будь-яких , ,  і, тим самим, для вирішень рівняння (1), який дозволяє описати функції Бесселя, гіпергеометричні і вироджені гіпергеометричні функції, сферичні гармоніки і деякі інші спеціальні функції з єдиної точки зору, а також вирішувати багато завдань квантової механіки.

Рівняння вигляду (2) природно називати рівнянням гіпергеометричного типу, оскільки воно приводить до гіпергеометричних функцій, а рівняння вигляду (1) - узагальненим рівнянням гіпергеометричного типу.

Гіпергеометрична функція (Гауса) визначається усередині круга | z | < 1 рядом

 

а при | z | > 1 виходить аналітичним продовженням цього ряду.

Гіпергеометрична функція є одним з приватних інтегралів диференціального рівняння

Друге лінійно незалежне вирішення цього рівняння має вигляд

 

Воно має особливу крапку при z = 0.

Циліндрові функції - вельми важливий з погляду додатків у фізиці і техніці клас трансцендентних функцій, що є вирішеннями диференціального рівняння:

 

До цього рівняння зводяться багато питань рівноваги (пружного, теплового, електричного) і коливань тіл циліндрової форми. Рішення, що має вигляд:

 

Називаєтсяциліндрічеськой функцією першого роду порядку n.

Зокрема, циліндрієськая функція  нульового порядку має вигляд:

 

Найбільш циліндрові функції, що часто зустрічаються:

Функції Бесселя - сімейство функцій, що є канонічними вирішеннями диференціального рівняння Бесселя:

 

Найбільш часто використовувані функції Бесселя - функції цілих порядків.

Рівняння Бесселя виникає під час знаходження вирішень рівняння Лапласа і рівняння Гельмгольца в циліндрових і сферичних координатах. Тому функції Бесселя застосовуються при вирішенні багатьох завдань про розповсюдження хвиль, статичні потенціали і т. п., наприклад:

·           електромагнітні хвилі в циліндровому хвилеводі;

·           теплопровідність в циліндрових об'єктах;

·           форми коливання тонкої круглої мембрани

·           швидкість частинок в циліндрі, заповненому рідиною і що обертається навколо своєї осі.

Функції Бесселя застосовуються і у вирішенні інших завдань, наприклад, при обробці сигналів.

Функціями Бесселя першого роду, J, що позначаються?(x), є рішення, кінцеві в точці x = 0 при цілих або ненегативних ?. Вибір конкретної функції і її нормалізації визначаються її властивостями. Можна визначити ці функції за допомогою розкладання в ряд Тейлора біля нуля (або в більш загальний статечною ряд при нецілих):

 

Нижче приведені графіки Jα(x) для α = 0,1,2:

 

Функції Бесселя другого роду - рішення Yα(x) рівняння Бесселя, нескінченні в крапці x = 0.

Yα(x) також іноді називають функцією Неймана (Ньюмана) і позначають як Nα(x). Ця функція пов'язана з Jα(x) наступним співвідношенням:

 

де у разі цілого ? береться межа по ?, обчислюваний, наприклад, за допомогою правила Лопіталя.

Нижче приведений графік Yα(x) для α = 0,1,2:

 

Модифіковані функції Бесселя - це функції Бесселя від уявного аргументу.

Якщо в диференціальному рівнянні Бесселя

замінити  на , воно набере вигляду

Це рівняння називається модифікованим рівнянням Бесселя

Якщо  не є цілим числом, то функції Бесселя  і  є двома лінійно незалежними вирішеннями рівняння, проте частіше використовують функції

 

Їх називають модифікованими функціями Бесселя першого роду . Якщо   — дійсне число (порядок функції), а  — позитивно, ці функції приймають речові значення.

Функція

 

також є вирішенням рівняння (1). Її називають модифікованою функцією Бесселя другого роду або функцією Макдональда . очевидно, що

 

 

Сферичні функції є кутовою частиною сімейства ортогональних вирішень рівняння Лапласа, записану в сферичних координатах. Вони мають велике значення в теорії диференціальних рівнянь в приватних похідних і теоретичній фізиці, зокрема в завданнях розрахунку електронних орбіт в атомі, гравітаційного поля геоїда, магнітного поля планет і інтенсивності реліктового випромінювання. У комп'ютерній 3D-графиці сферичні функції використовуються при розрахунку відбитого світла і розпізнаванні тривимірних зображеній.

Сферичні функції є власними функціями оператора Лапласа в сферичній системі координат (позначення ). Вони утворюють ортонормовану систему в просторі функцій на двовимірній сфері:

 

де * позначає комплексне сполучення δll' — дельта Кронекера.

Сферичні функції мають вигляд

 

Где

а функції Θlm(θ) є вирішеннями рівняння

 і мають вигляд

 

Кульові функції, однорідні функції un ступеня п від прямокутних координат х, у, z, що задовольняють рівнянню Лапласа:

Кульові функції застосовуються при знаходженні загального вирішення рівняння Лапласа і при вирішенні завдань математичної фізики для областей, обмежених сферичними поверхнями.

Ламі функції -  функції, вживані при вивченні фізичних явищ (розподіл тепла, рух рідини і т. п.) в областях, обмежених поверхнею еліпсоїда. Ламі функції є простими вирішеннями диференціального рівняння Ламі:

 

  де a2= a2 + l, b2= b2 + l, g2 = c2+l, n — ціле число, a a, b, с — піввісь еліпсоїда, усередині (або зовні) якого досліджується фізичне явище. Ламі функції, введені Г. Ламе в 1839, мають численні додатки до різних питань математичної фізики і механіки.

Матье функції, спеціальні функції, введені французьким математиком Е. Матье (E. Mathieu) в 1868 при вирішенні завдань про коливання еліптичної мембрани. Матье функції застосовуються також при вивченні розповсюдження електромагнітних хвиль в еліптичному циліндрі, при розгляді приливних хвиль в судині, що має форму еліптичного циліндра, і у ряді інших питань. Матье функції називаються парні або непарні функції, що є періодичними вирішеннями лінійного диференціального рівняння другого порядку (рівняння Матье):

 

Іноді до спеціальних функцій  відносять трансцендентні функції, що також не виражаються через елементарні функції, найважливішими прикладами яких є еліптичні функції, гамма-функція, дзета-функція, інтегральний логарифм, інтеграл вірогідності і ін.

 

Висновки

В даний час теорія диференціальних рівнянь з приватними похідними є багатою, сильно розгалуженою теорією. Побудована теорія краєвих задач для еліптичних операторів на основі недавно створеного нового апарату - теорії псевдодиференційних операторів, вирішена проблема індексу, вивчені змішані завдання для гіперболічних рівнянь. Важливу роль в сучасних дослідженнях гіперболічних рівнянь грають інтегральні оператори Фурье, які узагальнюють оператора перетворення Фурье на той випадок, коли фазова функція в показнику експоненти, взагалі кажучи, нелінійно залежить від незалежних змінних і частот. За допомогою інтегральних операторів Фурье вивчено питання про розповсюдження особливостей вирішень диференціальних рівнянь, ведучий почало від класичних робіт Гюйгенса. У останні десятиліття знайдені умови коректної постановки краєвих задач, досліджені питання гладкості рішень для еліптичних і параболічних систем. Вивчені нелінійні еліптичні і параболічні рівняння другого порядку і широкі класи нелінійних рівнянь першого порядку, досліджено для них завдання Коші, побудована теорія розривних рішень. Глибокому вивченню були піддані система Навьє-Стокса, система рівнянь прикордонного шару, рівняння теорії пружності, рівняння фільтрації і багато інших важливих рівнянь математичної фізики.

 

 

Література

А. Ф. Филиппов Введение в теорию дифференциальных уравнений. — Изд. 2-е. — 2007.

В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Математический анализ. - ТК Велби, Проспект, 2006 г.

А. Н. Тихонов, А. Б. Васильева, А. Г. Свешников. Дифференциальные уравнения. - ФИЗМАТЛИТ, 2005 г.

Полянин А. Д., Зайцев В. Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: Точные решения. — М.: Физматлит, 2002.

Полянин А. Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. — М.: Физматлит, 2001.

Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — 4-е изд. — М.: Наука, 1981.

В. В. Амелькин. Дифференциальные уравнения в приложених. - Едиториал УРСС, 2009 г.

А.П.Крашенинников. Аналитическая теория дифференциальных уравнений. - http://www.nature.web.ru/db/msg.html?mid=1168858&s=120204000

Олейник О.А. Роль теории дифференциальных уравнений в современной математике и ее приложених. - http://www.pereplet.ru/obrazovanie/stsoros/87.html

 

 


Переплет дипломов
Главная Новости О компании Наши услуги Цены Способы оплаты Авторам Вопрос-ответ Карта сайта Контакты
Партнеры: "ЦОДНТИ" "Первая Переплетная Мастерская""ЮТЭК"
Academic Journal Catalogue (AJC)